7º ANO

Quiz: Divisores, Múltiplos, MDC e MMC

Prof Cesar Barroso

Instruções: Responda às questões abaixo. Cada uma traz uma situação do dia a dia. Escolha a alternativa correta ou escreva a resposta, conforme o pedido. Boa sorte!

Parte 1: Divisores

1. João quer dividir 12 brigadeiros igualmente entre seus amigos. Quantos divisores o número 12 tem, ou seja, quantas formas diferentes ele pode dividir os brigadeiros sem sobrar nenhum?  

   a) 4  

   b) 5  

   c) 6  

   d) 8  

2. Maria tem 18 reais e quer comprar lanches que custam o mesmo valor. Qual dos números abaixo é divisor de 18, ou seja, um valor que ela pode gastar em cada lanche sem deixar troco?  

   a) 5  

   b) 6  

   c) 7  

   d) 10  

Parte 2: Múltiplos

3. Pedro anda de bicicleta e a cada 7 metros dá uma pedalada completa. Qual é o terceiro múltiplo de 7, ou seja, a distância que ele percorre após 3 pedaladas?  

   a) 7  

   b) 14  

   c) 21  

   d) 28  

4. Ana tem 36 figurinhas e quer guardá-las em pacotes iguais. O número 36 é múltiplo de qual dos números abaixo, ou seja, em quantas figurinhas por pacote ela pode dividir sem sobrar?  

   a) 5  

   b) 8  

   c) 9  

   d) 11  

Parte 3: MDC (Máximo Divisor Comum)

5. Lucas tem 12 carrinhos e 18 bonecos e quer fazer grupos iguais com o maior número possível de cada item. Qual é o MDC de 12 e 18, ou seja, quantos brinquedos de cada tipo ele pode colocar em cada grupo?  

   a) 3  

   b) 6  

   c) 9  

   d) 12  

6. Sofia tem 20 chocolates e 30 balas e quer fazer saquinhos com a maior quantidade possível de cada doce, sem sobrar nada. Encontre o MDC de 20 e 30 escrevendo os divisores comuns, ou seja, quantos doces de cada tipo ela pode colocar por saquinho.

Parte 4: MMC (Mínimo Múltiplo Comum)

7. Um ônibus passa a cada 6 minutos e um trem a cada 8 minutos no ponto. Qual é o MMC de 6 e 8, ou seja, após quantos minutos eles vão passar juntos de novo?  

   a) 12  

   b) 24  

   c) 36  

   d) 48  

8. Clara toca violão a cada 15 dias e piano a cada 25 dias. Calcule o MMC de 15 e 25 usando o método da fatoração, ou seja, depois de quantos dias ela vai tocar os dois instrumentos no mesmo dia novamente?

Gabarito

1. c) 6  

2. b) 6  

3. c) 21  

4. c) 9  

5. b) 6  

6. 10  

7. b) 24  

8. 75  

---

Resoluções Detalhadas

1. João quer dividir 12 brigadeiros igualmente entre seus amigos. Quantos divisores o número 12 tem?

- Divisores são as formas de dividir 12 sem sobrar brigadeiros.  

- Lista: 1 (12 ÷ 1 = 12), 2 (12 ÷ 2 = 6), 3 (12 ÷ 3 = 4), 4 (12 ÷ 4 = 3), 6 (12 ÷ 6 = 2), 12 (12 ÷ 12 = 1).  

- Total: 1, 2, 3, 4, 6, 12 = 6 divisores.  

- Resposta: c) 6.

2. Maria tem 18 reais e quer comprar lanches. Qual dos números abaixo é divisor de 18?

- Teste:  

  - 5: 18 ÷ 5 = 3,6 (não é inteiro).  

  - 6: 18 ÷ 6 = 3 (é inteiro, 3 lanches de 6 reais).  

  - 7: 18 ÷ 7 ≈ 2,57 (não é inteiro).  

  - 10: 18 ÷ 10 = 1,8 (não é inteiro).  

- Apenas 6 divide 18 sem resto.  

- Resposta: b) 6.

3. Pedro pedala a cada 7 metros. Qual é o terceiro múltiplo de 7?

- Múltiplos: 7 × 1 = 7, 7 × 2 = 14, 7 × 3 = 21.  

- Após 3 pedaladas, ele percorre 21 metros.  

- Resposta: c) 21.

4. Ana tem 36 figurinhas. O número 36 é múltiplo de qual dos números abaixo?

- Teste:  

  - 5: 36 ÷ 5 = 7,2 (não é inteiro).  

  - 8: 36 ÷ 8 = 4,5 (não é inteiro).  

  - 9: 36 ÷ 9 = 4 (é inteiro, 4 pacotes de 9).  

  - 11: 36 ÷ 11 ≈ 3,27 (não é inteiro).  

- 36 é múltiplo de 9.  

- Resposta: c) 9.

5. Lucas tem 12 carrinhos e 18 bonecos. Qual é o MDC de 12 e 18?

- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.  

- Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.  

- Comuns: 1, 2, 3, 6.  

- Maior: 6 (6 grupos com 2 carrinhos e 3 bonecos cada).  

- Resposta: b) 6

6. Sofia tem 20 chocolates e 30 balas. Encontre o MDC de 20 e 30.

- Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.  

- Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.  

- Comuns: 1, 2, 5, 10.  

- Maior: 10 (10 saquinhos com 2 chocolates e 3 balas cada).  

- Resposta: 10.

7. Um ônibus passa a cada 6 minutos e um trem a cada 8 minutos. Qual é o MMC de 6 e 8?

- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36...  

- Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40...  

- Comuns: 24, 48...  

- Menor: 24 (passam juntos após 24 minutos).  

- Resposta: b) 24

8. Clara toca violão a cada 15 dias e piano a cada 25 dias. Calcule o MMC de 15 e 25.

- Fatore:  

  - 15 = 3 × 5  

  - 25 = 5 × 5 = 5²  

- MMC = 3¹ × 5² = 3 × 25 = 75.  

- Após 75 dias, ela toca os dois no mesmo dia.  

- Resposta: 75.

Raciocínio Lógico

Manual de Como Resolver Questões de Raciocínio Lógico em Provas de Concurso

Aluno em teste de raciocínio lógico na escola

Este manual foi criado para descomplicar o raciocínio lógico, uma das partes mais desafiadoras das provas de concurso. Com um passo a passo claro e cinco questões resolvidas detalhadamente, você vai aprender a abordar esses problemas com confiança. Além disso, incluímos macetes simplificados para evitar erros bobos. Vamos começar com uma estratégia geral e depois mergulhar nas questões.

Passos Gerais para Resolver Questões de Raciocínio Lógico

1. Leia com calma o enunciado: Entenda o que está sendo pedido e quais informações são dadas. Fique de olho em palavras como "se", "ou", "não", que mudam tudo.

2. Organize as informações: Faça tabelas, desenhos ou anotações para não se perder nos dados.

3. Descubra o tipo de questão: Pode ser lógica de frases, sequências, associações ou cálculos de chance. Cada uma tem seu jeitão.

4. Use regras simples: Aplique tabelas-verdade para lógica, veja padrões em sequências ou faça contas básicas para probabilidades.

5. Teste as opções: Em provas de múltipla escolha, risque as alternativas absurdas e cheque a certa.

6. Confira tudo: Antes de responder, veja se não pulou algo ou entendeu errado.

Agora, vamos resolver cinco questões com bastante detalhe e macetes fáceis de lembrar.

Questão 1: Proposições Lógicas

Enunciado: "Se João estuda, então ele passa na prova. João não passou na prova. Logo, João não estudou." Essa afirmação é verdadeira ou falsa?

Resolução Passo a Passo:

1. Transforme em símbolos: Vamos simplificar a frase. Chame "João estuda" de P e "João passa na prova" de Q. O enunciado diz: "Se P, então Q" (P → Q), ou seja, estudar leva a passar.

2. Veja o que foi dado: "João não passou na prova" significa que Q é falso, ou ¬Q. Isso é um fato importante para analisar.

3. Pense na regra da implicação: Na lógica, "Se P, então Q" só funciona se, quando P acontece, Q também acontece. Se Q não aconteceu (¬Q), então P não pode ter acontecido, senão a frase inicial estaria errada.

4. Conclua o raciocínio: Como ¬Q é verdade (João não passou), P tem que ser falso (João não estudou). Isso é chamado de modus tollens, uma regra clássica da lógica.

5. Cheque a resposta: A afirmação diz "João não estudou" (¬P), que bate com nossa conclusão. Então, é verdadeira.

6. Revisão final: Tudo faz sentido: se estudar garantisse passar e ele não passou, só pode não ter estudado.

Macete: Se o "então" (Q) é falso, o "se" (P) também é. Pense: "Q caiu, P cai junto".

Questão 2: Sequências Numéricas

Enunciado: Qual é o próximo termo da sequência: 2, 5, 10, 17, 26, ...?

Resolução Passo a Passo:

1. Escreva a sequência: Temos 2, 5, 10, 17, 26. Precisamos achar o próximo número.

2. Calcule as diferenças: Veja quanto aumenta de um termo para o outro:

   - 5 - 2 = 3

   - 10 - 5 = 5

   - 17 - 10 = 7

   - 26 - 17 = 9

   - As diferenças são: 3, 5, 7, 9.

3. Encontre o padrão: As diferenças crescem de 2 em 2 (3 + 2 = 5, 5 + 2 = 7, 7 + 2 = 9). A próxima será 9 + 2 = 11.

4. Some ao último termo: Pegue o 26 (último número) e adicione 11: 26 + 11 = 37.

5. Confirme o resultado: Outra forma de ver é testar uma fórmula. Note que cada termo parece ser n² + 1: 1² + 1 = 2, 2² + 1 = 5, 3² + 1 = 10, 4² + 1 = 17, 5² + 1 = 26, 6² + 1 = 37. Bate certinho!

6. Resposta final: O próximo termo é 37.

Macete: Olhe as diferenças e veja se elas seguem um padrão simples. Se não, tente n² ou n² + 1.

Questão 3: Associação Lógica

Enunciado: Três amigos (Ana, Bia, Carlos) têm profissões diferentes (médico, advogado, professor). Ana não é médica, Bia é professora, e Carlos não é advogado. Quem é o médico?

Resolução Passo a Passo:

1. Liste as pessoas e profissões: Temos Ana, Bia e Carlos, e as profissões médico, advogado e professor. Cada um tem uma profissão diferente.

2. Analise as dicas: São três informações para organizar:

   - Bia é professora (já temos uma certeza).

   - Ana não é médica (sobram advogado ou professor para ela).

   - Carlos não é advogado (sobram médico ou professor para ele).

3. Monte uma tabela mental: Comece com o fato fixo: Bia é professora. Isso elimina professor para os outros dois.

4. Atribua as profissões:

   - Ana não pode ser médica, e professora já é Bia, então Ana só pode ser advogada.

   - Carlos não pode ser advogado, e professora já é Bia, então Carlos só pode ser médico.

5. Cheque as condições: Ana (advogada), Bia (professora), Carlos (médico). Tudo se encaixa: Ana não é médica, Carlos não é advogado.

6. Resposta final: O médico é Carlos.

Macete: Parta do que é certo (ex.: Bia é professora) e risque o que não pode ser.

Questão 4: Probabilidade

Enunciado: Em uma escola com 100 alunos, 60 falam inglês, 50 falam espanhol e 20 falam ambos. Quantos alunos não falam nenhum dos dois idiomas?

Resolução Passo a Passo:

1. Entenda os dados: São 100 alunos no total. Desses, 60 falam inglês, 50 falam espanhol, e 20 falam os dois idiomas ao mesmo tempo.

2. Defina os grupos: Chame inglês de I (60 alunos), espanhol de E (50 alunos), e a interseção (os que falam ambos) de I ∩ E (20 alunos).

3. Calcule quem fala pelo menos um: Para saber quantos falam inglês, espanhol ou ambos, use a fórmula da união: I ∪ E = I + E - I ∩ E. Então: 60 + 50 - 20 = 110 - 20 = 90.

4. Ache os que não falam nenhum: O total é 100, e 90 falam pelo menos um idioma. Subtraia: 100 - 90 = 10.

5. Confirme com lógica: Dos 60 que falam inglês, 20 também falam espanhol, então 40 falam só inglês. Dos 50 que falam espanhol, 30 falam só espanhol. Total: 40 + 30 + 20 = 90. Sobram 10.

6. Resposta final: 10 alunos não falam nenhum dos dois.

Macete: Some tudo e tire os que se repetem (a interseção) antes de subtrair do total.

Questão 5: Argumentação Lógica

Enunciado: "Todos os gatos são mamíferos. Alguns mamíferos são pretos. Logo, alguns gatos são pretos." Essa conclusão é válida?

Resolução Passo a Passo:

1. Quebre em partes: Temos duas frases iniciais e uma conclusão:

   - "Todos os gatos são mamíferos" (gatos estão dentro de mamíferos).

   - "Alguns mamíferos são pretos" (existe pelo menos um mamífero preto).

   - Conclusão: "Alguns gatos são pretos" (será que isso é obrigatório?).

2. Imagine os grupos: Pense em gatos como um subgrupo de mamíferos. Mamíferos podem ser pretos, brancos, etc.

3. Teste um cenário possível: E se todos os gatos fossem brancos, e os mamíferos pretos fossem, por exemplo, cavalos? Isso não quebra as frases iniciais: gatos são mamíferos, e alguns mamíferos (cavalos) são pretos.

4. Analise a conclusão: Nesse caso, nenhum gato seria preto, o que mostra que a conclusão não é sempre verdade.

5. Decida a validade: Para ser válida, a conclusão tem que ser obrigatória. Como ela pode ser falsa, o argumento é inválido.

6. Resposta final: A conclusão não é válida.

Macete: Veja se dá pra imaginar um caso em que as frases iniciais são verdadeiras, mas a conclusão é falsa.

Como Dominar Raciocínio Lógico para Concursos: Guia Completo com Exemplos (RESUMO DAS RESOLUÇÕES)

Raciocínio lógico assusta muitos concurseiros, mas com as técnicas certas, você pode virar o jogo! Neste guia, mostramos cinco questões resolvidas com detalhes e macetes práticos para acertar sem complicação. E para quem quer ir além, indicamos o Curso de Matemática para Concurso do Prof. César Barroso, perfeito para dominar essa e outras matérias da prova.

Questão 1: Proposições Lógicas

Enunciado: "Se João estuda, então ele passa na prova. João não passou na prova. Logo, João não estudou." Verdadeira ou falsa?  

Solução: P → Q, ¬Q leva a ¬P. Resposta: Verdadeira.  

Macete: "Q caiu, P cai junto".

Questão 2: Sequências Numéricas

Enunciado: Próximo termo de 2, 5, 10, 17, 26?  

Solução: Diferenças (3, 5, 7, 9) sobem de 2 em 2. Próxima: 11. Resultado: 37.  

Macete: Olhe as diferenças ou teste n² + 1.

Questão 3: Associação Lógica

Enunciado: Ana não é médica, Bia é professora, Carlos não é advogado. Quem é o médico?  

Solução: Bia fixa como professora, Ana vira advogada, Carlos é médico.  

Macete: Parta do certo e risque o impossível.

Questão 4: Probabilidade

Enunciado: 100 alunos, 60 falam inglês, 50 espanhol, 20 ambos. Quantos não falam nenhum?  

Solução: 60 + 50 - 20 = 90, então 100 - 90 = 10.  

Macete: Some e tire os repetidos antes de subtrair.

Questão 5: Argumentação Lógica

Enunciado: "Todos os gatos são mamíferos. Alguns mamíferos são pretos. Logo, alguns gatos são pretos." Válida?  

Solução: Pode haver gatos não pretos, logo inválida.  

Macete: Teste um caso que derrube a conclusão.

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QUIZ PARA CONCURSEIRO (A)

Pegadinhas Matemáticas: Desafios Clássicos que Derrubam Concurseiros! (com alternativas e resolução detalhada)

Prepare-se para testar seus conhecimentos e desvendar três pegadinhas matemáticas que são verdadeiros clássicos em concursos públicos! Essas questões exigem atenção redobrada e raciocínio lógico afiado para não cair em armadilhas.

Pegadinha 1: A Velocidade Média Enganosa

• Problema: Um carro viaja de uma cidade A para uma cidade B a uma velocidade média de 60 km/h e retorna pela mesma estrada a uma velocidade média de 90 km/h. Qual a velocidade média do carro na viagem completa (ida e volta)?

  • a) 75 km/h
  • b) 72 km/h
  • c) 80 km/h
  • d) 65 km/h
  • e) 70 km/h

• Armadilha: A maioria dos candidatos tende a calcular a média aritmética das velocidades (60 + 90) / 2 = 75 km/h. No entanto, essa resposta está incorreta.

• Solução Detalhada:

  1. Distância: Vamos supor que a distância entre as cidades A e B seja de 180 km (um múltiplo comum de 60 e 90 para facilitar os cálculos).
  2. Tempo de Ida: Tempo = Distância / Velocidade = 180 km / 60 km/h = 3 horas.
  3. Tempo de Volta: Tempo = Distância / Velocidade = 180 km / 90 km/h = 2 horas.
  4. Distância Total: 180 km (ida) + 180 km (volta) = 360 km.
  5. Tempo Total: 3 horas (ida) + 2 horas (volta) = 5 horas.
  6. Velocidade Média: Velocidade Média = Distância Total / Tempo Total = 360 km / 5 horas = 72 km/h.

• Resposta: A alternativa correta é a b) 72 km/h.

Pegadinha 2: A Porcentagem do Desconto e Aumento

• Problema: Uma mercadoria sofre um desconto de 20% e, em seguida, um aumento de 20%. Qual o percentual final de variação do preço da mercadoria?

  • a) 0%
  • b) +4%
  • c) -4%
  • d) +2%
  • e) -2%

• Armadilha: A maioria dos candidatos acredita que o preço da mercadoria retorna ao valor original, já que o desconto e o aumento são de mesma porcentagem. No entanto, essa resposta está incorreta.

• Solução Detalhada:

  1. Preço Inicial: Vamos supor que o preço inicial da mercadoria seja de R$ 100,00.
  2. Desconto de 20%: 20% de R$ 100,00 = R$ 20,00. Preço após o desconto: R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00.
  3. Aumento de 20%: 20% de R$ 80,00 = R$ 16,00. Preço após o aumento: R$ 80,00 + R$ 16,00 = R$ 96,00.
  4. Variação Percentual: (R$ 96,00 - R$ 100,00) / R$ 100,00 = -0,04 = -4%.

• Resposta: A alternativa correta é a c) -4%.

Pegadinha 3: A Probabilidade Condicional Confusa

• Problema: Em uma urna, há 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Duas bolas são retiradas da urna, sem reposição. Qual a probabilidade de a segunda bola retirada ser branca, sabendo que a primeira bola retirada foi preta?

  • a) 5/8
  • b) 5/7
  • c) 4/7
  • d) 3/8
  • e) 3/7

• Armadilha: Muitos candidatos se confundem com a probabilidade condicional e calculam a probabilidade sem considerar a informação de que a primeira bola retirada foi preta.

• Solução Detalhada:

  1. Após a Primeira Retirada: Como a primeira bola retirada foi preta, restam na urna 5 bolas brancas e 2 bolas pretas, totalizando 7 bolas.
  2. Probabilidade da Segunda Bola Branca: A probabilidade de a segunda bola retirada ser branca é o número de bolas brancas restantes dividido pelo número total de bolas restantes: 5/7.

• Resposta: A alternativa correta é a b) 5/7.

Dicas para Evitar as Armadilhas:

• Leia o enunciado com atenção: Identifique as informações relevantes e os dados fornecidos.
• Compreenda os conceitos: Domine os conceitos matemáticos envolvidos em cada problema.
• Use o raciocínio lógico: Analise as informações e utilize o raciocínio lógico para encontrar a solução correta.
• Pratique com questões de pegadinhas: Resolva diversos problemas de pegadinhas para se familiarizar com os tipos de armadilhas mais comuns.

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